代数的独立・超越基底

$L/K$ を体の拡大とする。部分集合 $S \subseteq L$ に対し、$K$ と $S$ を含む $L$ の最小の部分環・部分体をそれぞれ $K[S]$、$K(S)$ と書く。$K(S)$ は、$S$ の有限個の元 $s_1, \ldots, s_n$ と $K$ 係数多項式 $p, q$（$q(s) \ne 0$）による $p(s)/q(s)$ の全体である。

1. 相異なる元 $s_1, \ldots, s_n \in L$ が $K$ 上代数的に独立であるとは、$K$ 係数の $n$ 変数多項式 $F$ で $F(s_1, \ldots, s_n) = 0$ となるものが $F = 0$ に限ること、すなわち代入 $K[X_1, \ldots, X_n] \to L$ が単射であることをいう。部分集合 $S$ が代数的に独立であるとは、その相異なる有限個の元がつねに代数的に独立であることをいう（空集合は代数的に独立）。
2. 代数的に独立な $S \subseteq L$ で、$L$ が $K(S)$ 上代数的（命題 6.2［多項式環と体の拡大］）であるものを、$L/K$ の超越基底という。