前層と前層の圏

$\mathcal{C}$ を局所的に小さい圏とする。関手 $F : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ を $\mathcal{C}$ 上の前層という。前層を対象、自然変換を射とする圏 $[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$ を $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ と書く。対象 $X \in \mathcal{C}$ について前層 $h_X = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, X)$ と関手 $h^{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -) : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$ を考え、射 $f : X \to Y$ に自然変換 $h_f : h_X \Rightarrow h_Y$、$(h_f)_W(u) = f \circ u$ を対応させる。