シフトをもつ加法圏・三角形・三角形の射

定義 2.1（「三角圏とホモトピー圏の三角構造」§2）

シフトをもつ加法圏とは、加法圏 $\mathcal{D}$ と加法関手 $[1]\colon \mathcal{D} \to \mathcal{D}$ の組で、 $[1]$ が逆関手 $[-1]$ をもつ（圏の同型である）ものをいう。 $X[1]$ を $X$ のシフトと呼び、 $[n]$ を $[1]$ または $[-1]$ の $|n|$ 回の合成とする。
三角形とは、対象 $X, Y, Z$ と射 $u\colon X \to Y$ 、 $v\colon Y \to Z$ 、 $w\colon Z \to X[1]$ の組 $(X, Y, Z, u, v, w)$ をいい、 $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]$ と書く。
三角形 $(X, Y, Z, u, v, w)$ から $(X', Y', Z', u', v', w')$ への射とは、射の組 $(a, b, c)$ （ $a\colon X \to X'$ 、 $b\colon Y \to Y'$ 、 $c\colon Z \to Z'$ ）で $b u = u' a$ 、 $c v = v' b$ 、 $a[1]\, w = w' c$ を満たすものをいう。 $a, b, c$ がすべて同型のとき三角形の同型という（このとき $(a^{-1}, b^{-1}, c^{-1})$ は逆向きの射である）。
三角形 $T = (X, Y, Z, u, v, w)$ の回転を $(Y, Z, X[1], v, w, -u[1])$ とする。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。