AB3・AB4・AB5 の条件

$\mathcal A$ をアーベル圏とする。

1. （AB3）任意の小さい族が余積をもつ。
2. （AB4）AB3 を満たし、小さい族の mono $\iota_\lambda\colon X_\lambda \to Y_\lambda$ の余積 $\bigoplus_\lambda \iota_\lambda\colon \bigoplus_\lambda X_\lambda \to \bigoplus_\lambda Y_\lambda$（$\mathrm{in}_\lambda\iota_\lambda$ の誘導する射）が mono である。
3. （AB5）AB3 を満たし、任意の小さいフィルター圏 $I$ について、補題 6.2 の (2) の関手 $\operatorname{colim}\colon [I, \mathcal A] \to \mathcal A$ が完全である。

$[I, \mathcal A]$ はアーベル圏で（命題 5.7［加法圏とアーベル圏］）、完全性は余極限の選び方によらない。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ がこれらを満たすとき、$\mathcal A$ は AB3*・AB4*・AB5* を満たすという。