T 代数と Eilenberg–Moore 圏

$(T, \mu, \eta)$ を $\mathcal{C}$ 上のモナドとする。$T$ 代数とは、対象 $A$ と射 $a : TA \to A$（構造射）の組 $(A, a)$ で

を満たすものをいう。$T$ 代数の射 $f : (A, a) \to (B, b)$ は $f \circ a = b \circ T(f)$ を満たす $\mathcal{C}$ の射とする。$T$ 代数とその射の圏を $\mathcal{C}^{T}$（Eilenberg–Moore 圏）、$(A, a) \mapsto A$ で定まる忘却関手を $U^{T} : \mathcal{C}^{T} \to \mathcal{C}$ と書く。