素点と正規化した絶対値

体 $K$ の自明でない絶対値の同値類を $K$ の素点という。$K$ を代数体とする。

• $\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し $|x|_{\mathfrak{p}} := (N\mathfrak{p})^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}$。この同値類を有限素点という。
• 実の埋め込み $\sigma \colon K \to \mathbb{R}$ に対し $|x|_\sigma := |\sigma(x)|_\infty$。この同値類を実素点という。
• 実でない埋め込み $\sigma \colon K \to \mathbb{C}$ に対し $|x|_\sigma := |\sigma(x)|_\infty^2$。$|\sigma(x)|_\infty$ の同値類を複素素点という（$\sigma$ と $\bar\sigma$ は同じ素点を定める）。 実素点と複素素点を合わせて無限素点という。上の $|\cdot|_v$ を素点 $v$ の正規化した絶対値という。複素素点の $|\cdot|_v$ は絶対値の平方で、三角不等式を満たさないが、定める位相は同じである。有限素点 $v$ が素数 $p$ の上にあることを $v \mid p$、無限素点であることを $v \mid \infty$ と書く。