絶対値

体 $K$ の絶対値（乗法付値）とは、写像 $|\cdot| \colon K \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ で、すべての $x, y \in K$ について次の 3 条件を満たすものをいう。

1. $|x| = 0 \iff x = 0$。
2. $|xy| = |x|\,|y|$。
3. $|x + y| \le |x| + |y|$。

$x \ne 0$ で常に $|x| = 1$ となる絶対値を自明な絶対値という。条件 3 より強い条件

を満たす絶対値を非 Archimedes 的、そうでないものを Archimedes 的という。絶対値つきの体を付値体と呼ぶ。