Dirichlet 指標・導手・原始指標

$m \ge 1$ とする。$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ の指標 $\chi$ を、$\gcd(a, m) = 1$ のとき $\chi(a) := \chi(a \bmod m)$、$\gcd(a, m) \gt 1$ のとき $\chi(a) := 0$ として $\mathbb{Z}$ の上の関数に延ばしたものを、$m$ を法とする Dirichlet 指標という。$\chi$ は完全乗法的（$\chi(ab) = \chi(a)\chi(b)$）で周期 $m$ をもつ。自明な指標から来るものを主指標 $\chi_0$ という。$\chi(-1) = 1$ のとき偶、$\chi(-1) = -1$ のとき奇という。

$m' \mid m$ とし、$\chi$ が自然な全射 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times} \to (\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z})^{\times}$ と $(\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z})^{\times}$ の指標の合成であるとき、$\chi$ は $m'$ を法として定義されるという。そのような $m'$ の最小値を $\chi$ の導手といい、導手が $m$ に等しい指標を原始指標という。