類体・導手・射線類体・Hilbert 類体

定理 7.3 のもとで、$C_K$ の開部分群 $N$ に対応する Abel 拡大 $L$（$N_{L/K}C_L = N$）を $N$ の類体という。

• Abel 拡大 $L/K$ に対し、$\overline{U}_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}C_L$ を満たすモジュラス $\mathfrak{m}$ のうち最小のもの（各素点での指数が最小のもの）を $L/K$ の導手 $\mathfrak{f}(L/K)$ という。
• モジュラス $\mathfrak{m}$ に対し、$\overline{U}_{\mathfrak{m}}$ の類体 $K_{\mathfrak{m}}$ を $\mathfrak{m}$ を法とする射線類体という。$\mathrm{Gal}(K_{\mathfrak{m}}/K) \cong C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} \cong \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ である。
• $\mathfrak{m} = 1$ の射線類体 $H_K := K_1$ を $K$ の Hilbert 類体という。