イデール群・イデール類群

代数体 $K$ のイデール群を、乗法群 $K_v^{\times}$ の $\mathcal{O}_v^{\times}$ に関する制限直積（$V_0 = S_\infty$）

と定め、制限直積の位相を入れる。元をイデールという。集合としては $\mathbb{I}_K$ はアデール環の単元群 $\mathbb{A}_K^{\times}$ である。対角埋め込み $K^{\times} \to \mathbb{I}_K$ の像の元を主イデールといい、商群

をイデール類群という。$S \supseteq S_\infty$ が有限集合のとき $\mathbb{I}_{K,S} := \prod_{v \in S}K_v^{\times} \times \prod_{v \notin S}\mathcal{O}_v^{\times}$ を $S$ イデールの群という。