アデール環

代数体 $K$ のアデール環を、加法群 $K_v$ の $\mathcal{O}_v$ に関する制限直積（$V_0 = S_\infty$）

と定める。元 $x = (x_v)_v$ をアデールという。演算は成分ごとの和と積とする。$x \in K$ を $(x, x, \ldots)$ に写す対角埋め込み $K \to \mathbb{A}_K$ の像の元を主アデールという。$S \supseteq S_\infty$ が有限集合のとき $\mathbb{A}_{K,S} := \prod_{v \in S} K_v \times \prod_{v \notin S} \mathcal{O}_v$ と書く。