因子に伴う可逆層・切断の零点因子・線形系

$X$ を整スキームとする。

1. Cartier 因子 $D = \{(U_i, f_i)\}$ に対し、$\mathcal K$ の部分 $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal O_X(D)$ を、$U_i$ の上で $f_i^{-1}$ で生成されるものとして定める（$f_i/f_j$ が単元なので $U_i \cap U_j$ の上で一致する）。
2. 可逆層 $\mathcal L$ の $0$ でない大域切断 $s$ に対し、$\mathcal L$ の自明化 $\varphi_i\colon \mathcal L|_{U_i} \cong \mathcal O_{U_i}$ をとって $\{(U_i, \varphi_i(s))\}$ とおくと、有効 Cartier 因子が定まる（$\varphi_i\varphi_j^{-1}$ は単元の掛け算）。これを $s$ の零点因子 $(s)_0$ という。
3. Cartier 因子 $D$ と線形同値な有効 Cartier 因子の全体を $|D|$ と書き、完備線形系という。$\Gamma(X, \mathcal L)$ の部分空間 $V$ に対応する因子の族 $\{(s)_0 : s \in V \setminus \{0\}\}$ を線形系といい、すべての $s \in V$ が消える点を基点という。