アフィン多様体・準アフィン多様体・座標環

$\mathbb{A}^n$ の既約な閉集合をアフィン多様体、アフィン多様体の空でない開集合を準アフィン多様体という。この記事では両者をあわせて多様体という。

アフィン多様体 $X \subseteq \mathbb{A}^n$ に対し

を $X$ の座標環という。$\mathbf{I}(X)$ は素イデアル（定理 2.3）なので $k[X]$ は有限生成な $k$ 代数である整域で、その商体 $k(X) = \operatorname{Frac} k[X]$ を $X$ の関数体という。$f \in k[X]$ は代表元の多項式の値により関数 $X \to k$ を定め、$\mathbf{I}(X)$ の定義から、異なる元は異なる関数を定める。$f \in k[X]$、$T \subseteq k[X]$、$Z \subseteq X$ に対し

とおく。$D(f)$ を主開集合という。