生成される部分群と巡回群

群 $G$ の元 $a$ に対し

とおき、$a$ が生成する集合と呼びます。これは $G$ の演算について閉じており（$a^ia^j = a^{i+j}$）、$e = a^0$ を含み、$a^k$ の逆元 $a^{-k}$ を含むので、それ自身が群になります。ある元 $a$ について $G = \langle a\rangle$ となるとき、$G$ を巡回群といい、$a$ をその生成元といいます。