体の拡大・拡大次数・最小多項式

体 $K$ が体 $L$ の部分体であるとき、組 $L/K$ を体の拡大といいます。このとき $L$ は $K$ 上のベクトル空間になります（加法は $L$ のもの、スカラー倍は $K$ の元による $L$ の中での乗法）。その次元

を拡大次数といい、$[L:K]$ が有限のとき $L/K$ を有限次拡大といいます。

$\alpha \in L$ が $K$ 上代数的であるとは、$f(\alpha) = 0$ を満たす $0$ でない $f \in K[X]$ が存在することをいいます。このとき、$\alpha$ を根に持つモニック多項式のうち次数が最小のものはただ一つに定まり、これを $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式といって $m_{\alpha, K}$ と書きます。

$S \subseteq L$ に対し、$K$ と $S$ をともに含む $L$ の部分体のうち最小のものを $K(S)$ と書きます。$S$ が有限集合 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ のときは $K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ と書きます。