内積とコサイン類似度

$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^d$ に対し、内積を $\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle = \sum_{i=1}^{d} x_i y_i$、ノルムを $\|\boldsymbol{x}\| = \sqrt{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle}$ と定める。$\boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}$, $\boldsymbol{y}\ne\boldsymbol{0}$ のとき、

をコサイン類似度と呼ぶ。コーシー・シュワルツの不等式により $-1 \le \cos(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \le 1$ である。