一様分布の最大値ではブートストラップは一致しない

$\theta > 0$ とし、$X_1, \ldots, X_N$ を $(0, \theta)$ 上の一様分布からの独立な標本、$M_N = \max_iX_i$、$M_N^* = \max_kX_k^*$（再標本の最大値）とする。

1. データの値がすべて異なるとき（確率 $1$）、$\mathbb{P}^*(M_N^* = M_N) = 1 - (1 - 1/N)^N \ge 1 - 1/e$。
2. $x \ge 0$ について $\mathbb{P}(N(\theta - M_N) > x) = (1 - x/(N\theta))^N$（$x \le N\theta$）で、$N \to \infty$ で $e^{-x/\theta}$ に収束する。特に $\mathbb{P}(N(\theta - M_N) \le 0) = 0$。
3. したがって、$N(\theta - M_N)$ の分布関数と、その再標本化による代用 $N(M_N - M_N^*)$ の $\mathbb{P}^*$ のもとでの分布関数の Kolmogorov 距離は、すべての $N$ で確率 $1$ で $1 - 1/e$ 以上である。