密度・一様分布

$\mathbb{R}^d$ 値の確率変数 $X$ が密度 $p$ をもつとは、ボレル可測な $p : \mathbb{R}^d \to [0, \infty)$ があって、すべてのボレル集合 $B$ について $\mathbb{P}(X \in B) = \int_B p(x)\,dx$ となることをいう。$0 < m(A) < \infty$ のボレル集合 $A$ について、密度 $\mathbf{1}_A/m(A)$ をもつ分布を $A$ 上の一様分布という。$(0,1)$ 上の一様分布を $\mathrm{U}(0,1)$ と書く。$U \sim \mathrm{U}(0,1)$ なら $0 \le t \le 1$ について $\mathbb{P}(U \le t) = t$ である。