Metropolis–Hastings 型の連鎖と採択関数

$\pi$ を $S$ 上の正の確率分布、$Q$ を $S$ 上の遷移行列（提案）とする。$x \ne y$、$Q(x,y) > 0$ となる組について

と置く。関数 $a(x,y) \in [0,1]$（採択関数）が、$x \ne y$ なるすべての組で

を満たすとき、遷移行列

を、提案 $Q$ と採択関数 $a$ による Metropolis–Hastings 型の連鎖という。「$x$ から $Q(x,\cdot)$ に従って $y$ を提案し、確率 $a(x,y)$ で $y$ に移り、そうでなければ $x$ にとどまる」連鎖である。次の 2 つが代表的である。

• Metropolis–Hastings の採択関数: $a_{\mathrm{MH}}(x,y) = \min(1, r(x,y))$。
• Barker の採択関数: $a_{\mathrm{B}}(x,y) = \dfrac{r(x,y)}{1 + r(x,y)} = \dfrac{\pi(y)Q(y,x)}{\pi(x)Q(x,y) + \pi(y)Q(y,x)}$。

（$Q(x,y) = 0$ の組では $a(x,y)$ の値は $P_a$ に影響しない。）