添字による縮約

配列 $T^{(1)},\ldots,T^{(m)}$ の各軸に添字の名前（文字）を付け、同じ名前の軸は同じ長さをもつとする。出力に残す名前の列を指定したとき、縮約の結果は、出力の名前の値を固定し、残りのすべての名前について和をとった

である。np.einsum("ij,jk->ik", A, B) は行列の積 $R_{ik}=\sum_jA_{ij}B_{jk}$ を表す。

$m\ge3$ のとき、配列を 2 つずつ縮約して中間結果に置き換えていく手順を縮約順序という。2 つの配列の縮約の費用を、定義の式どおりに計算したときのスカラーの乗算の回数、すなわち 2 つの配列に現れるすべての名前の長さの積とする。$p\times q$ 行列と $q\times r$ 行列の積の費用は $pqr$ である。