ローレンツ変換と 4 元ベクトル・テンソル

$4\times4$ 実行列 $\Lambda=(\Lambda^\mu{}_\nu)$ が $\Lambda^{\mathsf T}\eta\Lambda=\eta$、すなわち $\eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha{}_\mu\Lambda^\beta{}_\nu=\eta_{\mu\nu}$ を満たすとき、ローレンツ変換という。座標は $x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ と変換される。

• 4 つ組 $V^\mu$ が $V'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu V^\nu$ と変換されるとき反変ベクトル（4 元ベクトル）、$W_\mu$ が $W'_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu W_\nu$ と変換されるとき共変ベクトルという。
• $T^{\mu\nu}$ が $T'^{\mu\nu}=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta T^{\alpha\beta}$ と変換されるとき2 階の反変テンソルという。共変の添字には $(\Lambda^{-1})$ を使う。一般の階数のテンソルも同様に定める。
• 変換しない量（$\Lambda$ によらない量）をスカラーという。