上界・上限・下限

$S \subset \mathbb{R}$ とする。

• $b \in \mathbb{R}$ が $S$ の上界であるとは、すべての $x \in S$ について $x \le b$ となることをいう。上界が存在するとき $S$ は上に有界であるという。
• $L \in \mathbb{R}$ が $S$ の上限であるとは、$L$ が $S$ の上界であり、かつ $S$ の任意の上界 $b$ について $L \le b$ となることをいう。すなわち上限とは最小の上界である。上限は存在すれば一意なので（2 つあれば互いに他以下となる）、$\sup S$ と書く。
• 下界・下に有界・下限 $\inf S$ も、不等号を逆にして同様に定める。