測度保存系

可測写像 $T:X\to X$ がすべての $A\in\mathcal{B}$ について $\mu(T^{-1}A)=\mu(A)$ を満たすとき、$T$ は $\mu$ を保存するといい、$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系という。$T^0=\mathrm{id}$、$T^{n}=T\circ T^{n-1}$ とし、可測関数 $f$ について

を Birkhoff 和、Birkhoff 平均（時間平均）という。