不変集合とエルゴード性

$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系とする。$T^{-1}A=A$ を満たす $A\in\mathcal{B}$ を不変集合といい、その全体を $\mathcal{I}$ と書く（逆像は集合演算と可換なので $\mathcal{I}$ は σ-加法族である）。すべての $A\in\mathcal{I}$ が $\mu(A)\in\{0,1\}$ を満たすとき、$T$（または $\mu$）はエルゴード的であるという。