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軌道上の時計と地上の時計の進み方の差

定理 4.2（「日常の中の物理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

地球の重力場を質量 MM の Schwarzschild 計量で近似し、地球の自転・扁平性・軌道離心率、および他天体の影響を無視する。地心距離 rr の円軌道を回る時計の固有時を τsat\tau_{\mathrm{sat}}、地心距離 RR に静止した地上の時計の固有時を τgnd\tau_{\mathrm{gnd}} とする。このとき、GM/(rc2)≪1GM/(rc^2) \ll 1 および v2/c2≪1v^2/c^2 \ll 1 の下で 1 次の精度で

τsat−τgndτgnd≈GMc2(1R−32r)\frac{\tau_{\mathrm{sat}} - \tau_{\mathrm{gnd}}}{\tau_{\mathrm{gnd}}} \approx \frac{GM}{c^{2}}\left(\frac{1}{R} - \frac{3}{2r}\right)

が成り立つ。特に右辺の符号は r>32Rr > \tfrac{3}{2}R のとき正（衛星の時計が進む）、r<32Rr < \tfrac{3}{2}R のとき負（遅れる）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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