初期値問題の解の一意性

$D \subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$\boldsymbol{F} : D \to \mathbb{R}^n$ を連続写像とし、ある定数 $L > 0$ が存在して

が成り立つとします（この条件をリプシッツ条件といいます）。このとき、区間 $[0, T]$ 上の 2 つの $C^1$ 級の解 $\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{y}(t)$ が、いずれも $D$ に値をとり、$\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$、$\dot{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{y})$、かつ $\boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{y}(0)$ を満たすならば、$[0,T]$ 全体で $\boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{y}(t)$ です。