ロジスティック写像の厳密解とリアプノフ指数

命題 4.2（「ラプラスの悪魔と決定論」§4）・ ✓公理まで証明済み

区間 $[0,1]$ 上の写像 $f(x) = 4x(1-x)$ を考えます。 $x_0 \in [0,1]$ に対し $\theta_0 \in [0, \pi/2]$ を $x_0 = \sin^2 \theta_0$ で定めると、 $x_{n+1} = f(x_n)$ で定まる数列は

x_n = \sin^2\bigl(2^n \theta_0\bigr)

と表されます。さらに、 $\theta_0/\pi$ が無理数であるようなほとんどすべての $x_0$ に対し、この系のリアプノフ指数は $\lambda = \ln 2$ です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。