情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 有限要素法 II

半離散と全離散の有限要素法

定義 7.1（「有限要素法 II」§7）

uh:[0,Tf]→Vhu_h : [0, T_{\mathrm{f}}] \to V_h で

⟨∂tuh(t),vh⟩+⟨∇uh(t),∇vh⟩=⟨f(t),vh⟩(vh∈Vh),uh(0)=u0h\langle\partial_tu_h(t), v_h\rangle + \langle\nabla u_h(t), \nabla v_h\rangle = \langle f(t), v_h\rangle\quad(v_h \in V_h),\qquad u_h(0) = u_{0h}

を満たすものを半離散の有限要素解という。uh=∑jcj(t)φju_h = \sum_jc_j(t)\varphi_j と書くと、これは常微分方程式系 Gc˙+Kc=b(t)G\dot{\boldsymbol{c}} + K\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b}(t) である。時間刻み Δt\Delta t、tn=nΔtt_n = n\Delta t、0≤θ≤10 \le \theta \le 1 に対し、Un∈VhU^n \in V_h を

⟨Un+1−UnΔt,vh⟩+⟨∇(θUn+1+(1−θ)Un),∇vh⟩=⟨θf(tn+1)+(1−θ)f(tn),vh⟩(vh∈Vh)\Bigl\langle\frac{U^{n+1} - U^n}{\Delta t}, v_h\Bigr\rangle + \bigl\langle\nabla(\theta U^{n+1} + (1-\theta)U^n), \nabla v_h\bigr\rangle = \bigl\langle\theta f(t_{n+1}) + (1-\theta)f(t_n), v_h\bigr\rangle\quad(v_h \in V_h)

で定める方法を全離散の方法といい、θ=1\theta = 1 を陰的 Euler 法、θ=12\theta = \frac12 を Crank–Nicolson 法という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問