1 次元の分割と有限要素空間

$0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = 1$ を $[0,1]$ の分割、$e_i = [x_{i-1}, x_i]$ を要素、$x_i$ を節点、$h_i = x_i - x_{i-1}$、$h = \max_ih_i$ とする。$k = 1, 2$ について

を区分 $k$ 次の（連続な）有限要素空間という。$V_h = V_h^1$ と書く。$\varphi_i \in V_h$（$1 \le i \le N-1$）を $\varphi_i(x_j) = \delta_{ij}$ で定め、節点基底（帽子関数）という。連続関数 $u$（$u(0) = u(1) = 0$）に対し

を節点補間という。$V_h^2$ では、節点に各要素の中点を加えた点で同じように節点基底と補間 $I_h^{(2)}$ を定める。$G = (\langle\varphi_j, \varphi_i\rangle)_{i,j}$ を質量行列という（基底の Gram 行列。有界性の定数 $M$ と区別するため $G$ と書く）。定数 $\gamma \ge 1$ について $\min_ih_i \ge h/\gamma$ となる分割を（定数 $\gamma$ で）準一様という。