格子と格子関数

格子幅 $h > 0$ に対し、$x_j = jh$（$j \in \mathbb{Z}$）を格子点、集合 $h\mathbb{Z} = \{x_j\}$ を格子という。格子上の複素数値の関数 $v = (v_j)_{j\in\mathbb{Z}}$ を格子関数という。

を離散 $\ell^2$ ノルム、最大値ノルムといい、$\|v\|_h < \infty$ である格子関数の全体を $\ell^2(h\mathbb{Z})$ と書く。周期 $1$ の問題では $h = 1/N$（$N$ は正の整数）とし、$v_{j+N} = v_j$ を満たす格子関数を $\mathbb{C}^N$ の元と同一視して、和を $j = 0, \ldots, N-1$ でとる。時間の刻み $\Delta t > 0$ に対し $t_n = n\Delta t$ とし、時刻 $t_n$ の格子関数を $u^n = (u^n_j)_j$ と書く。