格子領域と離散 Laplace 作用素

$d \in \{1, 2\}$、$h > 0$ とし、$\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_d$ を $\mathbb{R}^d$ の標準基底とする。格子 $h\mathbb{Z}^d$ の点 $P$ の隣接点を $P \pm h\boldsymbol{e}_k$（$k = 1, \ldots, d$）とし、その集合を $N(P)$ と書く（$2d$ 個）。$h\mathbb{Z}^d$ の空でない有限部分集合 $\Omega_h$ を内部の格子点の集合とし、

を境界の格子点の集合、格子領域という。$\bar\Omega_h$ 上の実数値関数 $u$ に対し

を離散 Laplace 作用素という。$d = 1$ では $\Delta_hu(x) = \frac{u(x+h) - 2u(x) + u(x-h)}{h^2}$（3 点差分）、$d = 2$ では

（5 点差分）である。$\Omega_h$ のどの 2 点も、$\Omega_h$ の点だけを通って隣接点をたどる列で結べるとき、$\Omega_h$ は連結であるという。