古典 Gram–Schmidt と修正 Gram–Schmidt

列が一次独立な $A=(\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_n)\in\mathbb{R}^{m\times n}$ について、$k=1,\ldots,n$ の順に次で $\boldsymbol{q}_k$ と $R$ の第 $k$ 列を作る。

• 古典 Gram–Schmidt（CGS）: $r_{ik}=\boldsymbol{q}_i^{\mathsf{T}}\boldsymbol{a}_k$（$i<k$）、$\boldsymbol{w}_k=\boldsymbol{a}_k-\sum_{i<k}r_{ik}\boldsymbol{q}_i$。
• 修正 Gram–Schmidt（MGS）: $\boldsymbol{w}_k^{(1)}=\boldsymbol{a}_k$、$i=1,\ldots,k-1$ について $r_{ik}=\boldsymbol{q}_i^{\mathsf{T}}\boldsymbol{w}_k^{(i)}$、$\boldsymbol{w}_k^{(i+1)}=\boldsymbol{w}_k^{(i)}-r_{ik}\boldsymbol{q}_i$。$\boldsymbol{w}_k=\boldsymbol{w}_k^{(k)}$。

どちらも $r_{kk}=\|\boldsymbol{w}_k\|_2$、$\boldsymbol{q}_k=\boldsymbol{w}_k/r_{kk}$ とする。