ノルムと p ノルム

写像 $\|\cdot\|\colon\mathbb{K}^n\to[0,\infty)$ が次の 3 条件を満たすときノルムという: (i) $\|\boldsymbol{x}\|=0\iff\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$、(ii) $\|\alpha\boldsymbol{x}\|=|\alpha|\|\boldsymbol{x}\|$（$\alpha\in\mathbb{K}$）、(iii) $\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\le\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|$。$1\le p<\infty$ について $\|\boldsymbol{x}\|_p=\bigl(\sum_i|x_i|^p\bigr)^{1/p}$、$\|\boldsymbol{x}\|_\infty=\max_i|x_i|$ を p ノルムという。2 つのノルム $\|\cdot\|_\alpha,\|\cdot\|_\beta$ が同値であるとは、定数 $0<c\le C$ があって全 $\boldsymbol{x}$ で $c\|\boldsymbol{x}\|_\alpha\le\|\boldsymbol{x}\|_\beta\le C\|\boldsymbol{x}\|_\alpha$ となることをいう。