前進誤差と後退誤差

定義 2.1 の状況で、計算値 $\hat{\boldsymbol{y}}\in\mathbb{R}^m$ について、

1. （相対）前進誤差を $\|\hat{\boldsymbol{y}}-f(\boldsymbol{x})\|/\|f(\boldsymbol{x})\|$ と定める。
2. （ノルムによる相対）後退誤差を $$\eta(\hat{\boldsymbol{y}})=\inf\left\{\frac{\|\Delta\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}:\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x}\in U,\ f(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})=\hat{\boldsymbol{y}}\right\}$$ と定める（集合が空なら $\infty$）。$\|\Delta\boldsymbol{x}\|/\|\boldsymbol{x}\|$ の代わりに $\eta_{\boldsymbol{x}}(\Delta\boldsymbol{x})$ を使ったものを成分ごとの後退誤差 $\eta_{\mathrm{c}}(\hat{\boldsymbol{y}})$ という。