第一不完全性定理（ゲーデル、1931 年）

$\mathcal{L}_A$ の理論 $T$ が次の 3 条件を満たすとする。

• (i) $T$ は $Q$ のすべての公理を証明する。
• (ii) $T$ は帰納的公理化可能である。
• (iii) $T$ は無矛盾である。

定義 4.2 の証明可能性述語 $\mathrm{Prov}_T$ に対し、補題 4.3 を $\psi(x):\equiv\neg\mathrm{Prov}_T(x)$ に適用して得られる閉論理式を $G$ とする。すなわち $T\vdash G\leftrightarrow\neg\mathrm{Prov}_T(\overline{\#G})$ である。このとき次が成り立つ。

• (a) $T\nvdash G$。
• (b) さらに $T$ が $\omega$-無矛盾ならば $T\nvdash\neg G$。

とくに (i)(ii) と $\omega$-無矛盾性のもとで、$T$ は完全ではない。