整数と有理数

$\omega\times\omega$ 上の関係 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$ は同値関係であり、その商集合を $\mathbb{Z}$ とする。$(a,b)$ の同値類を $a-b$ と書く。和と積を

で定める。さらに $\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ 上の関係 $(a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc$ による商集合を $\mathbb{Q}$ とし、$(a,b)$ の類を $a/b$ と書く。