デデキントの切断

$\mathbb{Q}$ の部分集合 $A$ が次の 3 条件を満たすとき、切断という。

1. $A\ne\varnothing$ かつ $A\ne\mathbb{Q}$。
2. （下に閉じる）$a\in A$ かつ $q<a$ ならば $q\in A$。
3. （最大元をもたない）任意の $a\in A$ に対し、$a<a'$ となる $a'\in A$ がある。

切断全体の集合を $\mathbb{R}$ とし（$\mathcal{P}(\mathbb{Q})$ から分出）、$A\le B\iff A\subseteq B$ と定める。$q\in\mathbb{Q}$ には切断 $q^{*}=\{r\in\mathbb{Q}\mid r<q\}$ を対応させる。