top-p 集合の一意性・最小性・単調性

定理 5.4（「推論」§5）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を $V = \{1, \ldots, N\}$ 上の確率分布、 $0 < \rho \le 1$ とします。

（一意性） $k(\rho)$ と $S_\rho$ は一意に定まります。
（最小性） $k(\rho) = \min\{ |T| : T \subset V,\ p(T) \ge \rho \}$ です。すなわち $S_\rho$ は、確率の和が $\rho$ 以上である集合のうち、大きさが最小のものの 1 つです。
（その大きさの中での最大性）大きさ $k(\rho)$ の集合のうち、 $S_\rho$ は確率の和が最大です。 $p_1, \ldots, p_N$ がすべて異なるなら、最大を与える集合は $S_\rho$ だけです。
（単調性） $\rho \le \rho'$ なら $k(\rho) \le k(\rho')$ で、 $S_\rho \subset S_{\rho'}$ です。
（両端） $\rho \le p_{\pi(1)}$ なら $S_\rho = \{\pi(1)\}$ で、これは貪欲復号が選ぶトークンです。 $\rho = 1$ なら $S_1 = \{ i : p_i > 0 \}$ です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。