de Bruijn–Newman 定数

$\Phi(u):=\sum_{n\ge1}\bigl(2\pi^2n^4e^{9u}-3\pi n^2e^{5u}\bigr)\exp(-\pi n^2e^{4u})$ とし、実数 $t$ に対して整関数

を定める。$H_0(z)=\frac18\xi\bigl(\frac12+\frac{iz}2\bigr)$ である。「$H_t$ の零点がすべて実数である」ことが $t\ge\Lambda$ と同値になる実数 $\Lambda\le\frac12$ が存在し（de Bruijn 1950、Newman 1976）、これを de Bruijn–Newman 定数という。