原稿のスケールと既知の定理の整合

$0\lt h\lt\frac1{100}$、$c_1,C_1\gt0$、$0\lt\tau_0\lt1$ とする。$\mathbb{R}^3\times[0,1)$ 上の滑らかなベクトル場 $u$ と、$0\lt\tau\lt\tau_0$ に対する可測集合 $A_\tau\subset C_\tau\subset\mathbb{R}^3$ が、$t=1-\tau$ で

• (S1) $|A_\tau|\ge c_1\tau^{3/2-h}$ かつ $A_\tau$ 上で $|u(x,t)|\ge c_1\tau^{-1/2-h}$、
• (S2) $|C_\tau|\le C_1\tau^{3/2-h}$ かつ $C_\tau$ 上で $|u(x,t)|\le C_1\tau^{-1/2-h}$、$|\nabla u(x,t)|\le C_1\tau^{-1-h}$

を満たすとする。このとき次が成り立つ。

(i) $\int_{C_\tau}|u|^2dx\le C_1^3\tau^{1/2-3h}\to0$、$\int_{C_\tau}|\nabla u|^2dx\le C_1^3\tau^{-1/2-3h}$ で、後者は $\tau$ について $(0,\tau_0)$ 上可積分である。

(ii) $\|u(t)\|_{L^\infty}\ge c_1\tau^{-1/2-h}$ で、$\int_0^1\|u(t)\|_{L^\infty}^2dt=\infty$。

(iii) LPS の指数 $(p,q)$（$\frac2p+\frac3q=1$、$3\lt q\lt\infty$）について

(iv) $\|u(t)\|_{L^3}\ge c_1^{4/3}\tau^{-4h/3}\to\infty$。