有限確率空間の基本性質

有限確率空間 $(\Omega,w)$ について、次が成り立つ。

1. 事象 $A_1,\dots,A_r$ について $\mathbb{P}(A_1\cup\dots\cup A_r)\le\sum_i\mathbb{P}(A_i)$。
2. （期待値の線形性） 確率変数 $X_1,\dots,X_r$ について $\mathbb{E}[X_1+\dots+X_r]=\sum_i\mathbb{E}[X_i]$。事象 $A$ の指示関数 $\mathbf{1}_A$ について $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A]=\mathbb{P}(A)$。
3. （Markov の不等式） $X\ge0$、$a>0$ ならば $\mathbb{P}(X\ge a)\le\mathbb{E}[X]/a$。
4. （平均の原理） $w(\omega)>0$ かつ $X(\omega)\ge\mathbb{E}[X]$ となる $\omega$ が存在する。