O(N) 模型と Gibbs 測度

$d\ge1$、$N\ge2$ とし、$S^{N-1}\subset\mathbb{R}^N$ を単位球面、$\rho$ をその上の正規化された一様測度（$\mathrm{SO}(N)$ 不変）とする。配位空間 $\Omega=(S^{N-1})^{\mathbb{Z}^d}$ に直積位相と直積 σ-加法族 $\mathcal{F}$ を入れ、$A\subset\mathbb{Z}^d$ について $\mathcal{F}_A$ を座標 $\sigma_x$（$x\in A$）が生成する σ-加法族とする。相互作用 $J$ は §2 の条件（対称・$J(0)=0$・レンジ $R$）を満たすとし、有限集合 $\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$ について

とおく（$\beta\ge0$、$Z^\omega_\Lambda$ は $f=1$ で $1$ になる正規化定数、$\xi\omega_{\Lambda^c}$ は $\Lambda$ 上で $\xi$、外で $\omega$ に等しい配位）。確率測度 $\mu$ がすべての有限集合 $\Lambda$ で $\mu\gamma_\Lambda=\mu$、すなわち有界可測な $f$ について $\int\gamma_\Lambda(f\mid\omega)\,\mu(d\omega)=\mu(f)$ を満たすとき、$\mu$ を Gibbs 測度といい、その全体を $\mathcal{G}_\beta(J)$ と書く。