2 次元トーラス上の量子 Heisenberg 模型

$s\in\{\frac12,1,\frac32,\dots\}$ とし、$\mathbb{C}^{2s+1}$ 上のスピン $s$ の作用素 $S^1,S^2,S^3$（$[S^a,S^b]=i\varepsilon_{abc}S^c$、$\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{S}=s(s+1)$、$\|S^a\|=s$）を固定し、$S^\pm=S^1\pm iS^2$ とする。相互作用 $J$ は §2 の条件（対称・$J(0)=0$・レンジ $R$）を $d=2$ で満たし、$J\not\equiv0$ とし、$j_2=\sum_z|J(z)||z|^2$ とおく。$L>2R$ について $\Lambda=\Lambda_L=(\mathbb{Z}/L\mathbb{Z})^2$、$\mathcal{K}_\Lambda=\bigotimes_{x\in\Lambda}\mathbb{C}^{2s+1}$、$S^a_x$ を $x$ 番目の因子に働く $S^a$ とし、外場 $h\in\mathbb{R}$ のもとでのハミルトニアンを

とする（$x+z$ は $\bmod L$ で考える。$L>2R$ なので、レンジ内の異なる $z$ は異なる点を与える）。$\omega_{L,\beta,h}$ をその Gibbs 状態とし、1 サイトあたりの磁化を $m_L(\beta,h)=|\Lambda|^{-1}\sum_x\omega_{L,\beta,h}(S^3_x)$ とおく。自発磁化を $m_{\mathrm{sp}}(\beta)=\lim_{h\downarrow0}\limsup_{L\to\infty}|m_L(\beta,h)|$ と定める（極限の存在も主張に含める）。