数学 › 数学基礎 › 選択公理と Zorn の補題

辞書式順序の性質

命題 2.9（「選択公理と Zorn の補題」§2） ・ ✓公理まで証明済み

(P,<P)(P, <_P)、(Q,<Q)(Q, <_Q) を全順序集合とする。

  1. <lex<_{\mathrm{lex}} は P×QP \times Q 上の全順序である。
  2. 成分ごとの順序（p≤Pp′p \le_P p' かつ q≤Qq′q \le_Q q'）で (p,q)(p, q) が (p′,q′)(p', q') 以下なら、(p,q)≤lex(p′,q′)(p, q) \le_{\mathrm{lex}} (p', q') である。
  3. P,QP, Q がともに整列集合なら、(P×Q,<lex)(P \times Q, <_{\mathrm{lex}}) も整列集合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。