整列集合・始切片

全順序集合 $(W, \le)$ が整列集合であるとは、$W$ の空でない任意の部分集合が最小元を持つことをいう。このときの $\le$ を整列順序という。$W$ の部分集合 $S$ が始切片であるとは、$x \in S$ かつ $y \le x$ ならば $y \in S$ が成り立つことをいう。$a \in W$ に対し $W_{<a} := \{x \in W : x < a\}$ と書く（これは始切片である）。