Hamming 球・完全符号・MDS 符号

$\boldsymbol{x} \in \mathbb{F}_q^n$ と整数 $r \ge 0$ に対し、$B(\boldsymbol{x}, r) = \{\boldsymbol{y} \in \mathbb{F}_q^n : d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \le r\}$ を中心 $\boldsymbol{x}$、半径 $r$ の Hamming 球といい、

とおく。最小距離 $d$ の符号 $C$ が、$t = \lfloor (d-1)/2 \rfloor$ について $\mathbb{F}_q^n = \bigcup_{\boldsymbol{c} \in C} B(\boldsymbol{c}, t)$ を満たすとき完全符号という。$d = n - k + 1$ を満たす $[n, k, d]_q$ 符号を MDS 符号（最大距離分離符号）という。