正則性と次元スペクトル

$(\mathcal{A}, H, D)$ をスペクトル三つ組（$D$ は自己共役、$(1+D^{2})^{-1}$ はコンパクト、$a \in \mathcal{A}$ について $[D,a]$ は有界）とします。$\delta(T) := [\,|D|, T\,]$ とおきます。

1. 三つ組が正則であるとは、すべての $a\in\mathcal{A}$ に対して $a$ と $[D,a]$ が $\bigcap_{m \ge 1}\operatorname{Dom}(\delta^{m})$ に属することをいいます。
2. $\mathcal{B}$ を $\delta^{k}(a)$ と $\delta^{k}([D,a])$（$a\in\mathcal{A}$、$k\ge0$）が生成する代数とします。次元スペクトル $\operatorname{Sd} \subset \mathbb{C}$ とは、離散的で任意の垂直帯状領域との交わりが有限な集合であって、すべての $b \in \mathcal{B}$ に対しゼータ関数

が $\mathbb{C}\setminus\operatorname{Sd}$ 上に有理型接続をもち、$\operatorname{Sd}$ の外では正則になるようなもののうち最小のものをいいます。すべての極が 1 位のとき、次元スペクトルは単純であるといいます。 3. 単純な次元スペクトルをもつとき、

を $T$ の非可換積分と呼びます（コンヌは切れ目の入った積分記号で書きます）。