SOS 証明書

多項式 $p(x)=\sum_{k=0}^{2d}p_kx^k$ と単項式のベクトル $\boldsymbol{z}=(1,x,\ldots,x^d)^{\mathsf{T}}$ について、$p(x)=\boldsymbol{z}^{\mathsf{T}}Q\boldsymbol{z}$ を恒等的に満たす対称行列 $Q\succeq0$ があれば、すべての実数 $x$ で $p(x)\ge0$ である。$Q\succ0$ なら $p(x)\ge\lambda_{\min}(Q)(1+x^2+\cdots+x^{2d})\gt0$ である。