閉折れ線の回転数と交差数

平面（$\mathbb{C}$ と同一視する）の点の列 $p_0,p_1,\dots,p_{N-1}$（添字は $N$ を法とする）で、各 $j$ について $p_{j+1}\neq p_j$ であり、$p_{j+1}-p_j$ が $p_j-p_{j-1}$ の負の実数倍でないものを閉折れ線という。$v_j=(p_{j+1}-p_j)/|p_{j+1}-p_j|$ とし、$p_j$ での外角 $\tau_j\in(-\pi,\pi)$ を $e^{i\tau_j}=v_j/v_{j-1}$ で、回転数を $\operatorname{rot}=\sum_j\tau_j$ で定める。$\prod_je^{i\tau_j}=1$ なので $\operatorname{rot}\in2\pi\mathbb{Z}$ である。

閉折れ線を、線分 $[p_j,p_{j+1}]$ を区間 $[j/N,(j+1)/N]$ で一定の速さでたどる周期 $1$ の連続写像 $\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ と同一視する。$0\le s\lt t\lt1$ かつ $\gamma(s)=\gamma(t)$ となる組 $(s,t)$ を交差といい、交差が有限個で、どの交差でも $\gamma(s)$ が二つの線分の内点であり、それら二つの線分が平行でないとき、$\gamma$ は一般の位置にあるという。交差の個数を $\operatorname{cr}(\gamma)$ と書く。二つの閉折れ線 $\gamma_1,\gamma_2$ についても、$s,t\in[0,1)$、$\gamma_1(s)=\gamma_2(t)$ となる組を交差と呼び、同じ条件で互いに一般の位置にあるといい、その個数を $\operatorname{cr}(\gamma_1,\gamma_2)$ と書く。