Kleisli 圏

$(T, \mu, \eta)$ を $\mathcal{C}$ 上のモナドとする。Kleisli 圏 $\mathcal{C}_{T}$ を、対象は $\mathcal{C}$ と同じ、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}_{T}}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, TY)$、合成を

恒等射を $\eta_X : X \to TX$ として定める。関手 $F_T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}_T$ を $F_T(X) = X$、$F_T(f) = \eta_Y \circ f$ で、$U_T : \mathcal{C}_T \to \mathcal{C}$ を $U_T(X) = TX$、$U_T(f) = \mu_Y \circ T(f)$ で定める。